知北 · 数学实验 从高一函数开始
不妨先猜，再让图像回答你。
改一个数，看一种变化，把理由说给自己听。
今天的实验 / 先猜一下，不计分
y = (x − h)²
选一个直觉判断，再用滑块观察。
PARABOLA / 抛物线
y = x²
一次只改一个量
顶点 (0, 0) · 开口向上
先在旁边猜一猜；手机上，问题在模型上方。
顶点是抛物线转弯的位置。开口向上时，它是最低点；开口向下时，它是最高点。a=0 时图像成为水平直线，不再是抛物线。
01 / 从好奇，到自己说清楚
当前从一个函数专题做起。
先把一件小事学明白，再往前走。
依次试 h、k、a，观察左右、上下和开口的变化。
回到上方动手 ↗对照 x 与 h，预测、观察，再用新情境检验理由。
进入完整任务 ↗还是这个模型，换一个问题。需要时再用图像核对。
打开次日挑战 ↗先把二次函数这一条线做透，再往别处去。列表按真实进度更新，没有做出来的不假装存在。
适合：学过初中二次函数、知道坐标和顶点，但还说不清参数怎样控制图形的高一同学。
把 x 从 1 改成 2
把 h 从 0 改成 2
留一个自己的判断，猜错也能继续。
一次只改一个量，对照图像和坐标。
试着说出原因，卡住再展开提示。
换一道题，看看能否独立运用。
03 / 把方法带到别处
我在观察 y=(x−h)²。先别直接告诉我平移方向，请让我比较 h=0 与 h=2 时的顶点，再检查我的解释。
把你的判断也写进去。AI 的解释仍要用图像、计算或教材核对。
给家长：如何判断孩子是在理解，而不只是拖滑块？ ↗ 帮你找方向，不替你走路。
函数实验 01 / 从参数，到变量
很多同学学函数时有个说不清的困惑：x 一变，图像就变了，到底是"一个点在曲线上挪"， 还是"整条曲线换成了另一条"？接下来固定 a=1、k=0，只对照 y=x² 和 y=(x−h)²，把两种变化分开观察。
一页纸：先猜、观察记录、自测，可打印带进课堂或在家用。
这一步，先想一想
x 从 1 变成 2，变的是什么？
观察 1 / 5 · 先预测，再动手
打开上面的模式①，曲线是 y=x²。设想把 x 从 1 挪到 2：你觉得是"曲线上一个点换了位置"，还是"整条曲线变成了新的样子"？
在模式①里左右拖动 x（或直接在图上按住拖动），盯住那个红点和它到坐标轴的虚线。
切到模式②，曲线变成 y=(x−h)²，灰色虚线是原来的 y=x²。先别拖，猜一猜：h 从 0 慢慢增大，整条曲线会向左还是向右移动？
在模式②里慢慢拖动 h（或拖动图上的顶点），每改一次就记下顶点坐标。注意：这一次没有"点在固定曲线上滑动"，而是整条曲线在平移。
不看图，凭刚才的理解作答，每题都要能说出理由。
1. y=(x+2)² 的图像，是由 y=x² 怎么平移得到的？
2. 对固定的函数 y=x²，把 x 从 1 改到 2，下列说法正确的是？
3. y=(x−3)² 的顶点坐标是？
先别急着看完整解释，从提示一开始，能自己想下去就停下。
对照：改 x，是在同一条曲线上选取另一个点；改 h，是把函数换成另一条平移后的曲线。
换一个情境 · 先独立试试
固定函数 y=(x−1)²。让曲线上的点 P 的横坐标从 0 变成 2。这次发生了什么？
结果只描述本题的这次表现；进度自动记在本机浏览器里（不联网、不上传），可在"关于"页一键清除。
孩子先作预测，再用模型核对，最后尝试一个没有直接练过的情境。可以请孩子指着图解释：“哪一次只换了点，哪一次换了曲线？”
不用替孩子讲答案。先听理由，再问“你能用坐标或滑块验证吗？”本题使用了多少帮助已如实标明，不能把看过解答当作独立掌握。
内容为试验版本 · 本任务修订：2026-10-09 · 查看核验说明与反馈方式
函数实验 02 / 同一条曲线的两种写法
y=a(x−h)²+k 和 y=ax²+bx+c 可以表示同一条抛物线。这次只做一件事：改一边的字母， 看另一边的哪些字母跟着变，图像又动没动。建议准备纸笔；用时因人而异。
这一步，先想一想
把 y=(x−2)²+3 展开，b 是多少？
观察 1 / 4 · 先预测，再动手
把 (x−2)²+3 展开成 y=x²+bx+c 的样子。先别用模型，在纸上算一算，写下 b 和 c 各是多少。
保持顶点式模式，把 h 从 2 慢慢拖到 3。眼睛盯住下方"一般式"那一行：b 和 c 是怎么跟着变的？
一般式读不出顶点，要配方。先在纸上把 x²−6x+5 配成 a(x−h)²+k 的样子，写出顶点坐标。
每题都要能说出理由；卡住就展开上方的学习提示。
1. y=(x+3)²−1 展开后，一般式中的 b 等于？
2. y=x²+6x+5 的顶点坐标是？
3. y=x²−4x+7 与 y=(x−2)²+3 的关系是？
从提示一开始，能自己想下去就停下。
换一个情境 · 先独立试试
y=2x²−8x+3 的顶点横坐标是多少？先在纸上算。
结果只描述本题的这次表现；进度自动记在本机浏览器里（不联网、不上传），可在"关于"页一键清除。
孩子练习的是"同一件事的两种写法怎么互推"，这是以后解二次函数题的基本功。可以请孩子讲：为什么一般式看不出顶点、顶点式一眼能看到。
本题使用了多少帮助已如实标明；看过解答不等于独立掌握，隔一天可以让孩子再做一道类似的。
内容为试验版本 · 本任务修订：2026-10-10 · 查看核验说明与反馈方式
函数实验 03 / 交点的三种命运
顶点沉到 x 轴下方、正好压在线上、悬在上方——交点的个数随之改变。这次固定 a=1，只动 k（上下） 和 h（左右），看谁说了算。建议准备纸笔；用时因人而异。
这一步，先想一想
把 k 调到负数，交点会有几个？
观察 1 / 4
把 k 调到 0 以下的任一负数（比如 −2）。开口向上的抛物线，顶点沉到 x 轴下方，曲线必然穿过去。
先猜：两个交点的横坐标，加起来除以 2，会得到谁？
把 k 精确调到 0。顶点恰好落在 x 轴上，曲线碰到线就回头——这就是"相切"。
先猜：这时方程 (x−h)²+k=0 有几个解？
把 k 调到任一正数（比如 3）。(x−h)² 永远 ≥ 0，再加一个正的 k，整条曲线都在 x 轴上方。
先猜：判别式这时是正还是负？
随便拖 h 从一头到另一头，盯住交点个数。你会发现：个数没变，两个交点只是手拉手一起平移。
先猜：为什么 h 改变不了交点个数？（提示：Δ=−4k 里有没有 h？）
1. y=(x−3)²−4 与 x 轴的交点个数是？
2. y=(x+1)²+2 与 x 轴的交点个数是？
3. 把 y=(x−2)²−1 的图像向右平移 5 个单位，交点个数？
从提示一开始，能自己想下去就停下。
结果只描述本题的这次表现；进度自动记在本机浏览器里（不联网、不上传），可在"关于"页一键清除。
孩子练习的是"不画图也能判断交点个数"——判别式的三种命运。可以请孩子讲：顶点在上方、压线、下方各对应几个交点，为什么 h 不影响个数。
看过解答不等于独立掌握，隔一天可以让孩子再做一次自测。
内容为试验版本 · 本任务修订：2026-10-10 · 查看核验说明与反馈方式
思维方法 01 / 换元（试水）
有些题不是难，是"长得吓人"——四次方程课本没教过解法。这次学的是"怎么想到"： 看出式子里有整体重复出现，给它起个名字，难题就降次成会做的题。这是思维方法系列的第一页试水。
卡壳现场
解方程：x⁴ − 5x² + 4 = 0。四次方程，没学过——硬试 x=1 能碰对一个，可为什么恰好是它？还有别的解吗？
盯着原方程看三秒：未知数 x 从头到尾，只以 x² 的样子整体出现——没有单独的 x，也没有 x³。
注意最后一步最容易翻车：解出 t 别急着写答案——你要求的是 x，记得回代，还得检查范围。
x⁴ − 5x² + 4 = 0
第 1 步 / 共 4 步：看清原方程
每按一次"下一步"，方程就完成一次变形；到第 4 步，完整的回代结果会出现。"换一道"会给出新的四次方程——信号相同，动作相同。
换元的本质：四个 x 折叠成两个 t（± 折叠在一起）；解完再展开回来。
1. 方程 x⁴ − 3x² + 2 = 0 的实数根个数是？
2. 令 t = x² 解方程时，若算出 t = −2，应当怎么办？
结果只描述本题的这次表现；进度自动记在本机浏览器里（不联网、不上传），可在"关于"页一键清除。
思维方法系列第 1 页（试水）· 修订：2026-10-10 · 查看核验说明与反馈方式
资源导航 / 先有问题，再选工具
想输入别的函数、回看教材，或找 AI 讨论思路？从你要做的事开始选。每张卡保留使用条件与检查日期。
先观察变化，再通过解释和练习检验理解。浏览器直接可用，基础功能免费。
各平台免费范围不同，以官方页面为准。
把题目和想法说给它，让它先听你讲、再追问和提示。多数需登录，基础功能免费。
以下是给老师备课、或想动手做项目的成人准备的，不是学生学习的必需步骤，不影响上面的免费任务。
关于知北 / 一个人，先做好一件小事
让每一次动手都有问题，每一个判断都有依据。
知有所向
学有所行
知北学舍目前由一个人运营，名字取自《庄子·知北游》。我们想做的事情很具体：把一个抽象概念， 安排成"先预测、动手观察、解释原因、做题验证"的一次短任务，让自学的人少走弯路。
必须如实说明当前的能力边界：
给家长的话
“你觉得图像会怎么变？”
先让孩子说，不急着纠正。
“你改变了哪个量？”
请他指着图和坐标说明。
“换一个数，还能解释吗？”
看过答案，隔一天再确认。
这项任务按“先预测—动手观察—自己解释—用新题核对”推进。可以看孩子是否能说明改变了哪个量、图像哪里变了，而不只看他有没有拖动滑块。
你不需要先会讲数学。请孩子先说判断，再问“怎么验证？”卡住时用分级提示；看过解答后，隔一天换题再试。
本站目前没有数学教师审核或真实试用效果的外部证明。一次答对只反映本题表现，不承诺提分。
答题记录、观察步数与演示台参数只保存在你本机浏览器里（不联网、不上传、不关联任何身份）。换设备、换浏览器或清除浏览数据后会消失，不影响任何功能的使用。
发现题设、计算或表述有错误，或者你在某一步卡住了，都可以发邮件告诉我们。请说明是哪个专题、哪一步， 我们一般在 2 个工作日内回复。
我们不会公开你的私人住址等无关信息，也请你不要在邮件里发送身份证、完整成绩单等敏感内容。
可检查的依据 / 本专题修订于 2026-10-10
固定 y=x²：x=1 时 P=(1,1)，x=2 时 P=(2,4)。两点都满足同一个函数式，曲线没有变。
改变 h：y=(x−h)²≥0，且 x=h 时 y=0，故顶点为 (h,0)。h=2 时顶点为 (2,0)，对应原曲线右移 2 个单位。
迁移题：固定 y=(x−h)²（h 在 1–3 随机取），x=0 与 x=2h 的纵坐标相同、横坐标不同，是同一条曲线上的两个点。
这些计算可以直接复核；它们不等同于外部教师审核或真实学生使用效果。
顶点式展开：a(x−h)²+k = ax²−2ah·x+(ah²+k)，故 b=−2ah、c=ah²+k。y=(x−2)²+3 = x²−4x+7，即 b=−4、c=7；h=3 时 b=−6、c=3²+3=12。
反向配方：y=x²−6x+5 = x²−6x+9−4 = (x−3)²−4，顶点 (3,−4)；一般式顶点为 (−b/(2a), c−b²/(4a))。
迁移题：y=ax²−4ax+(4a−5)（a 在 2–3 随机取），顶点横坐标 −b/(2a)=4a/2a=2，与配方结果一致。
a=0 时不再是抛物线，分两种情况：顶点式里 a=0 化为水平直线 y=k；一般式里 a=0 是一次函数 y=bx+c（b≠0 时是斜直线，与 x 轴交于 x=−c/b）。页面读数会分别如实说明。
每个专题里的曲线、交点、顶点和长度，都由确定的数学计算产生，不靠模型"看着差不多"。 内容会对照公开教材和可复核的计算来写，并标注修订日期。若你算出来的结果和我们不一致， 请以严谨的推导为准，并把分歧告诉我们。
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用法一 · 先猜再看：点一下"显示公式"把它藏起来，载入 y=x²，问学生"把 h 变成 2，一般式会是什么？"收集两三个回答后，再点开公式、按 h 的 ＋ 揭晓。
用法二 · 配方对照：载入 y=x²−6x+5，全班先在纸上配方，再切到"调顶点式"核对顶点 (3, −4) 与两个交点 (1, 0)、(5, 0)。
用法三 · 判别式三态：依次载入 y=x²−6x+5（两个交点）、y=x²−4x+4（相切）、再把 c 按两次 ＋ 变成 6（无交点），每次都让学生先猜交点个数，再看图核对。
用法四 · 课前发同一条曲线：拖好参数（或在上方输入函数载入），点"复制本例链接"发到班级群，学生点开链接看到的就是你调好的这条曲线，无需任何输入。
课后任务：打开 zhibeixue.com，进入"学习专题"，完成"顶点式与一般式"，把你配方的草稿带来，明天课上讲给同桌听。
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内容为试验版本 · 演示台修订：2026-10-10 · 查看核验说明与反馈方式
| 操作 | 我的预测 | 实际看到 | 一句话解释 |
|---|---|---|---|
| 改变 h（0 → 2） | |||
| 改变 k（0 → 3） | |||
| 改变 a（1 → −1） | |||
| 固定函数改 x（1 → 2） |
完成后回到 zhibeixue.com「学习专题」逐题核对。本单不记录对错，只帮你留下自己的思考痕迹。